О факультете
Специальности
Кафедры
Дисциплины
Работа
Профбюро
Спорт и отдых
Журнал
Форум
Галерея
Клуб
Космонавтика
Ссылки

Поиск


Наши баннеры


Rambler's Top100
Журнал Все статьи
 

Информационная лента Аэрокосмического факультета МАИ

     

Бернулли: Кто это? Что это? Зачем? Часть I

В истории известны случаи, когда природа, сотворив гения, “отдыхает на потомках”, но встречаются и счастливые исключения, когда дар передается из поколения в поколение. Именно такой уникальный феномен представляет собой династия Бернулли. Представители этого рода 250 лет возглавляли кафедры математики и физики Базельского университета. Склонность к математике в семье Бернулли приводила к тому, что юрист, живописец, профессор элоквенции (красноречия), врач... в конце концов, переходили на плохо оплачиваемый путь - становились профессорами математики в Базеле, Падуе, Берлине, Петербурге...

Купеческая протестантская семья великих математиков эмигрировала (вернее, бежала) из Нидерландов, когда в 1550г. император Карл издал указ против еретиков. В поисках религиозной терпимости они докочевали до Швейцарии. Здесь они быстро стали уважаемым семейством.

Дети Бернулли были необычайно одарены самыми разнообразными талантами и проявлялись их способности очень рано: Иоганн II начал слушать лекции в университете в 11 лет; в 14 он получил степень магистра философии. Николай II в 8 лет владел немецким, французским, голландским языками и латынью.

Первые из этой династии - братья Якоб и Иоганн - разделяют славу создания современной математики с гениями - Ньютоном и Лейбницем. Лейбниц писал, что анализ бесконечно малых столь же много обязан братьям Бернулли, как и ему самому. Признанием их заслуг являются и математические термины: уравнение Бернулли, метод Бернулли, числа Бернулли, закон больших чисел Бернулли и др. В этой славной семье самыми великими были Якоб, Иоганн I и Даниил. В роде Бернулли некоторые имена повторяются из поколения в поколение, поэтому математиков различают как королей.

Не менее 30 представителей Бернулли обладали талантами, среди них выдающиеся историки, архитекторы, юристы и пр. Но три великих математика - Якоб, Иоганн, Даниил - стоят на недосягаемой высоте. Поговорим об их достижениях. По замыслам отца Якоб Бернулли должен был стать священником. Окончив Базельский университет магистром философии и богословия, он с успехом начал работать на предназначенном ему поприще. Кроме государственных языков Швейцарии - французского, немецкого, итальянского - и «научного» латинского, Якоб владел еще английским и греческим. Увлечение математикой заставило его покинуть этот так благополучно начатый жизненный путь ради ненадежных занятий наукой. В 1676г. Якоб начинает читать лекции по экспериментальной физике в Базельском университете, а через 3 года становится профессором математики. Знаменитые математики XVIII века были его учениками, среди них - его младший брат Иоганн, племянник Николай, Я.Герман (впоследствии член Петербургской АН), Пауль Эйлер (отец великого Леонарда Эйлера).

Первая научная работа Якоба была посвящена теории комет. Он утверждал, что кометы - небесные тела с определенными траекториями движения. Статья вызвала критику богословов, так как было заведомо известно, что кометы - знаки божьего гнева, Якобу пришлось согласовать свои научные взгляды с богословской догмой.

Вплоть до XIX века математики считали естественным тот факт, что любую функцию можно аппроксимировать (приблизить) многочленом. Как составить соответствующий многочлен (а впоследствии - бесконечный ряд)? Ответ на этот вопрос каждый искал по-своему (и если везло - находил и держал в секрете). Первым пособием по теории рядов были 5 диссертаций Якоб на эту тему (1689-1704 гг.), опубликованные под общим названием «Арифметические предложения о бесконечных рядах и их конечных суммах».

В статье 1690 года Якоб Бернулли ввел полярные координаты. Благодаря этому, он впервые построил и изучил несколько новых кривых, в том числе лемнискату Бернулли, спирали. Он открыл много интересных свойств этих кривых, некоторые из свойств (инвариантность относительно преобразований) его так поразили, что он завещал изобразить на его могильном камне логарифмическую спираль с надписью «Измененная, возрождаюсь прежней» (высечено нечто, похожее на спираль часов).

Последние 20 лет своей жизни Якоб усиленно занимался теорией вероятностей (кроме всего прочего). Его книга «Искусство предположений» была опубликована через 8 лет после смерти автора (племянником Николаем Бернулли). Именно здесь Якоб Бернулли и представил модель - «схему Бернулли» и сформулировал «закон больших чисел». Якоб приводит ссылки на своих предшественников и в теории вероятностей, и в комбинаторике. Среди них не упоминается Паскаль. Видимо, Якоб независимо изобрел метод полной математической индукции; долгое время метод называли «принцип Бернулли».

Иоганну, десятому ребенку в семье, отец уготовил профессию по торговой линии. Однако сын проявил редкую способность к наукам. К 18 годам он овладел французским и греческим языками, защитил две диссертации и стал заниматься медициной и математикой.

В 1686 г. братья познакомились со статьей Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, и особый для этого род исчисления». Статья содержала так много темных мест, недомолвок, что скорее была загадкой, чем объяснением «нового исчисления». Якоб обратился к Лейбницу с вопросами. Ответ воспоследовал через 3 года; к этому времени братья разгадали все намёки и самостоятельно далеко развили исчисление (которое отличалось от Лейбницева).

Дифференциальное и интегральное исчисления, теория рядов создавались и развивались одновременно и параллельно. Якоб Бернулли самостоятельно получил ряды для элементарных функций (1690г.), уже известные Ньютону (с 1666- 1667 гг.), Лейбницу (1676), Дж. Грегори.

В традициях семейства были путешествия по Европе. Якоб Бернулли в первую поездку (1676- 1680) посетил Швейцарию, Францию, Италию; он вернулся признанным ученым. Во второй поездке он был в Нидерландах и Англии (1682 г.).

В 1690 г. Иоганн Бернулли отправился в долгую поездку - год он прожил в Женеве, затем поехал в Париж, затем на 4 месяца в поместье Лопиталя, в Базель он вернулся в 1692 г. Иоганн завязал научные связи с ведущими математиками Франции - Вариньоном, Лагиром, Лопиталем; он познакомил французских ученых с исчислением Лейбница, наконец, он прочитал маркизу Лопиталю «Математические лекции» (за ежегодную пенсию в 300 ливров), которые Лопиталь издал в 1696 г. В предисловии к этому первому курсу математического анализа Лопиталь писал: «...я многим обязан знаниям г. Бернулли, особенно младшего из НИХ...Я безо всякого стеснения пользовался их открытиями и открытиями г. Лейбница. Поэтому я не имею ничего против того, чтобы они предъявили авторские права на всё, что им угодно, сам, довольствуясь тем, что они соблаговолят мне оставить».

Этот первый учебник дифференциального исчисления сыграл большую роль -новые методы, которые до того времени были доступны пяти-шести математикам в мире, были изложены последовательно и понятно, с примерами и пояснениями, и представлены широкому кругу читателей.

В ранних работах по дифференциальному исчислению трудно, а иногда и невозможно разделить результаты обоих братьев (а на ранних этапах - учителя и ученика!). Например, оба они решали задачу о цепной линии, оба нашли методы решения различных классов дифференциальных уравнений. Всё, что было создано в математическом анализе, Иоганн собрал, систематизировал в «Лекциях для маркиза Лопиталя» (1691-1692 гг.). При жизни Лопиталя Иоганн сообщил «на ухо» (его выражение) Лейбницу, что Лопиталю, собственно принадлежат 3-4 страницы в книге, а уж после смерти Лопиталя он громогласно заявил о своих правах на «правило Лопиталя».

Именно Иоганн дал определение функции как аналитического выражения. Он же дал определение однородной функции, ввёл название показательная функция и нашел её производную; вместе с Лейбницем нашел метод интегрирования рациональных дробей и придумал знак и название интеграла. В 1694 г. он вывел формулу, эквивалентную формуле Тейлора (и, конечно, вел с ним тяжбу о приоритете). Из достижений Иоганна в теории дифференциальных уравнений отметим, что ему принадлежит первый метод графического решения дифференциального уравнения первого порядка (метод изоклин, 1694 г.). Он решил также уравнение Лагранжа, свел уравнение Бернулли к линейному, применил интегрирующий множитель.

В 1696 г. Иоганн Бернулли опубликовал вызов «Новая задача, к разрешению которой приглашаются математики»: среди всех кривых, соединяющих две точки, не лежащих на одной вертикали, найти кривую наибыстрейшего спуска. В этой задаче нужно отыскать функцию, доставляющую наименьшее значение некоторому интегралу. В то время не было четко осознано, что задачи этого типа отличны от задач на экстремум функции. Задача вела к новой ветви математики, названной позднее вариационным исчислением. В следующем году Иоганн Бернулли поставил ещё одну задачу...

Автор: Александрова Надежда Вячеславовна
Опубликовано в газете «Поехали» №12 за февраль 2008 г.






Рубрики

Облако меток

Архивы

 

 

Concept and Design by ICAS Cosmos - © 1999 ICAS Cosmos - All rights reserved.
Send questions or comments about this NPJ on-line service to ICAS Cosmos.